Серии для логарифма
Используя тождество, можно вычислить эволюцию ряда натурального логарифма как
Пояснение
Тождество для серий имеет вид
Преобразуем его в более удобную формулу и подставим r = – t
Теперь разделим на 1 + t и получим
Это
Для |t| < 1 и n → ∞ применяется tn+1→ 0 так, что
Здесь мы видим производную от логарифма и поэтому можем проинтегрировать оба члена как
в результате
Подстановка x = x – 1 дает
Пример 1
Видно, что ln (1) = 0, так как
ln 1 = (0) − (0) + (0) − (0) + ⋯ = 0